第39章 院士出题(第3页)

 9分01，9分02，9分03……

 陈明德1秒1秒的数着，仿佛自己就是个原子钟，而在他数到9分27时，他开口了。

 “还有半分钟。”

 而林此默的声音也终于传了过来。

 “不必了，院士，已经算出来了。”

 “嗯？”

 陈明德微微昂首，面容稍显欣喜，心中一块石头落地，他还是希望林此默可以解出来的，

 “说说你的解法吧。”

 “那您，是要哪种解法呢？”

 林此默双手插兜，缓缓向前走来。

 “什么？”

 陈明德露出惊讶的神色，

 “你算出了几种解法？”

 “呵，”

 听到这，林此默缓缓竖出4根手指。

 “四种？”

 “四种。”

 “怎么可能……”

 陈明德的表情多了分惊异与怀疑。

 他该不会是在分析第三个条件是犯错了吧？才弄出那么多种可能。

 “快！都说出来。”

 想着，他连忙追问。

 而林此默也没有含糊，整理了一番言辞之后，直接口述：

 “先利用已知条件建立方程组，得f(1) = 1 + a + b + c = 0 、f(-1) = -1 + a - b + c = 0，将两式相加得 2a + 2c = 0，即 c = -a 。

 代入第一个方程得 1 + a + b - a = 0 ，解得 b = -1 ，函数表达式简化为：f(x) = x^3 + ax^2 - x - a

 然后分析极值点条件——

 导数f'(x) = 3x^2 + 2ax - 1 ，需在区间 (-1, 1) 内有实根，计算导数在端点的值式子是 f'(1) = 3 + 2a - 1 = 2a + 2 、 f'(-1) = 3 - 2a - 1 = 2 - 2a

 由于二次函数开口向上，若 f'(1) 和f'(-1) 符号相反，则区间内必有一根。

 进一步分析表明，无论 a 取何值，导数在 (-1, 1)内至少有一个根，因此极值点条件自动满足。

 最后，最小化a^2 + b^2 + c^2 ，由 b = -1、 c = -a，目标函数为a^2 + (-1)^2 + (-a)^2 = 2a^2 + 1.

 当 a = 0 时，取得最小值 1。

 即最终答案：a^2 + b^2 + c^2的最小值为1。”